Асимптотические и аналитические свойства смешанных вероятностных моделей и их применение к анализу сложных систем

Аннотация

 Статья представляет собой обзор результатов, полученных сотрудниками кафедры математической статистики в области аналитических и асимптотических свойств смешанных вероятностных моделей. Большое внимание уделено возможности представления некоторых широко применяемых абсолютно непрерывных распределений вероятностей (гамма-, Вейбулла, Стьюдента, Снедекора-Фишера, Миттаг-Леффлера, Бэрра и др.) в виде смесей распределений с максимальной дифференциальной энтропией (нормального и показательного). Также обсуждаются некоторые полезные дискретные распределения, допускающие представление в виде смешанных пуассоновских распределений. Приводятся примеры предельных теорем для статистик, построенных по выборкам случайного объема, в которых указанные распределения выступают в качестве предельных, а также оценки скорости сходимости в таких теоремах. Обсуждаются некоторые аспекты применения методов интеллектуального анализа больших массивов динамически накапливающихся данных на основе смешанных вероятностных моделей.

Литература

1. Haykin S. Neural Networks. A Comprehensive Foundation. 2nd Ed. New Jersey: Prentice Hall, 2001.

2. Хайкин С. Нейронные сети. Полный курс. 2-е изд. М.; СПб.: Диалектика, 2020.

3. Jaynes E.T. Information theory and statistical mechanics // Physical Review. 1957. 106. N 4. P. 620- 630.

4. Jaynes E.T. Information theory and statistical mechanics. II // Physical Review. 1957. 108. N 2. P. 171- 190.

5. Shore J.E., Johnson R. W. Axiomatic derivation of the principle of maximum entropy and the principle of minimum cross-entropy // IEEE Transactions on Information Theory, 1980. IT-26. Р. 26-37.

6. Jaynes E.T. On the rationale of maximum-entropy methods // Proceedings of the IEEE. 1982. 70. P. 939-952.

7. Kapur J.N. Maximum-Entropy Models in Science and Engineering. N. Y.: Wiley, 1989.

8. Gnedenko B.V., Korolev V.Yu. Random Summation: Limit Theorems and Applications. Воса Raton: CRC Press, 1996.

9. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949.

10. Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

11. Gut A. Stopped Random Walks. N. Y.: Springer, 1988.

12. Bening V.E., Korolev V. Yu. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance. Utrecht: VSP, 2002.

13. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шорги С.Я. Математические основы теории риска. 2-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011.

14. Королев В. Ю. Вероятностно-статистические методы декомпозиции волатильности хаотических процессов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011.

15. Antonov S.N., Koksharov S.N. On the asymptotic behavior of tais of scale mixtures of normal distributions // 3. Math. Sci. 2017. 220. Р. 660-671.

16. Stoyan D. Weibull, RRSB or extreme-value theorists? // Metrika, 2013. 76. Р. 153-159.

17. Korolev V. Yu. Product representations for random variables with Weibull distributions and their applications // J. Math. Sci. 2016. 218. Р. 298-313.

18. Fréchet M. Sur la bi de probabilité de Tecart maximum // Annales de la Société polonaise de Mathematique (Cracovie), 1927. 6. Р. 93-116.

19. Fisher R.A., Tippett L.H. C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1928. 24. Р. 180-190.

20. Gnedenko B.V. Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aléatoire // Annals of Mathematics, 1943. 44. N 3. Р. 423-453.

21. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир, 1965.

22. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.

23. Mittnik S., Rachev S.T. Stable distributions for asset returns // Applied Mathematics Letters. 1989. 2. N 3. P. 301–304.

24. Mittnik S., Rachev S. T. Modeling asset returns with alternative stable distributions // Econometric Reviews, 1993. 12. Р. 261-330.

25. Григорьева М.Е., Королев В.Ю., Соколов И.А. Предельная теорема для геометрических сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин и ее применение к прогнозированию вероятности катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий // Информатика и ее применения. 2013. 7. Вып. 4. С. 11-19.

26. Королев В.Ю., Арефьева Е.В., Нефедова Ю.С., Рыбаков А.В., Лазовский Р.А. Прогнозирование рисков наводнений на основе метода оценивания вероятностей превышения критических значений в неоднородных потоках экстремальных событий // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2015. Вып. 2. С. 40-53.

27. Королев В.Ю., Соколов И.А. Математические модели неоднородных потоков экстремальных событий. 2-е изд. М.: URSS, 2024.

28. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

29. Schneider W.R. Stable distributions: Fox function representation and generalization // Stochastic Processes in Classical and Quantum Systems. Eds. by Albeverio S., Casati G, Merlini D. Berlin: Springer, 1986. P. 497-511.

30. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Utrecht: VSP, 1999.

31. Laherrére J., Sornette D. Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tail" with characteristic scales // European Physical Journal B. 1998. 2. P. 525–539.

32. Malevergne Y., Pisarenko V., Sornette D. Empirical distributions of stock returns: Between the stretched exponential and the power law? // Quantitative Finance. 2005. Б. Р. 379-401.

33. Malevergne Y., Pisarenko V., Sornette D. On the power of generalized extreme value (GEV) and generalized Pareto distribution (GDP) estimators for empirical distributions of stock returns // Applied Financial Economics, 2006. 16. Р. 271-289.

34. Amoroso L. Ricerche intomo alla curva dei redditi // Ann. Mat. Pura Appl. 1925. 21, P. 123-159.

35. Stacy E.W. A generalization of the gamma distribution // Ann. Math. Stat. 1962. 33. Р. 1187-1192.

36. Крицкий С.Н., Менкель М.Ф. О приемах исследования случайных колебаний речного стока // Труды НИУ ГУГМС. Сер. IV. 1946. Вып. 29. С. 3-32.

37. Крицкий С.Н., Менкель М. Ф. Выбор кривых распределения вероятностей для расчетов речного стока //Известия АН СССР. Отделение технических наук. 1948. Вып. 6. С. 15-21.

38. Королев В.Ю. Аналоги теоремы Глезера для отрицательных биномиальных и обобщенных гамма- распределений и некоторые их приложения // Информатика и ее применения. 2017. 11. Вып. 3. С. 2-17.

39. Subbotin M.T. On the law of frequency of erroг // Математический сборник. 1923. 31. Вып. 2. С. 296-301.

40. West M. On scale mixtures of normal distributions // Biometrika, 1987. 74. Р. 646-648.

41. Choy S.T.B., Smith A.F. F. Hierarchical models with scale mixtures of normal distributions // TEST. 1997. 6. P. 205–221.

42. Korolev V. Y. Some properties of univariate and multivariate exponential power distributions and related topics // Mathematics. 2020. 8. Art. 1918.

43. Korolev V. Analytic and Asymptotic Properties of the Generalized Student and Generalized Lomax Distributions // Mathematics. 2023. 11. N 13. Art. 2890.

44. Lomax K.S. Business failures. Another example of the analysis of failure data // J. Amer. Statist. Assoc. 1954. 49. P. 847-852.

45. Korolev V., Zeifman A. Quasi-exponentiated normal distributions: mixture representations and asymmetrization // Mathematics. 2023. 11. N 17. Art. 3797.

46. Dubey S.D. A compound Weibull distribution // Naval Research Logistics Quarterly, 1968. 15. P. 197-198.

47. Bening V., Korolev V., Sukhareva N., Xiaoyang H., Khaydarpashich R. The Burr distribution as an asymptotic law for extreme order statistics and its application to the analysis of statistical regularities in the interplanetary magnetic field // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 2024. 39. N 2. P. 61–74.

48. Korolev V., Zeifman A. Mixture representations for generalized Burr, Snedecor-Fisher and generalized Student distributions with related results // Mathematics. 2023. 11. N 18. Art. 3892.

49. Kozubowski T.J. Mixture representation of Linnik distribution revisited // Statistics and Probability Letters, 1998. 38. P. 157-160.

50. Korolev V. Yu., Zeifman A.I. Convergence of statistics constructed from samples with random sizes to the Linnik and Mittag-Leffler distributions and their generalizations // Journal of Korean Statistical Society, 2017, 46. P. 161-181.

51. Королев В.Ю. Некоторые свойства распределения Миттаг-Леффлера и связанных с ним процессов // Информатика и ее применения. 2017. 11. Вып. 4. С. 26-37.

52. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S. V. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Berlin; N. Y.: Springer, 2014.

53. Bunge J. Compositions semigroups and random stability // Annals of Probability. 1996. 24. P. 1476–1489.

54. Klebanov L. B., Rachev S. T. Sums of a random number of random variables and their approximations with E-accompanying infinitely divisible laws // Serdica. 1996. 22. P. 471-498.

55. Коваленко И.Н. О классе предельных распределений для последовательности серий сумм независимых процессов восстановления // Литовский математический сборник. 1965. 5. Вып. 4. С. 561-568.

56. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Introduction to Queueing Theory. Jerusalem: Israel Program for Scientific Translations, 1968.

57. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Introduction to Queueing Theory. Boston: Birkhauser, 1989.

58. Pillai R.N. Harmonic mixtures and geometric infinite divisibility // Journal of Indian Statistical Association. 1990. 28. P. 87-98.

59. Pillai R.N. On Mittag-Leffler functions and related distributions // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 1990. 42. P. 157-161.

60. Линник Ю.В. Линейные формы и статистические критерии. 1, 1 // Украинский математический журнал. 1953. Б. С. 207-243, 247-290.

61. Laha R. G. On a class of unimodal distributions // Proceedings of the American Mathematical Society, 1961. 12. P. 181-184.

62. Devroye L. A note on Linnik's distribution // Statistics and Probability Letters, 1990. 9. P. 305–306.

63. Kotz S., Ostrovskii IV., Hayfavi A. Analytic and asymptotic properties of Linnik's probability densities. I // J. Math. Analysis Appl. 1995. 193. P. 353–371.

64. Kotz S., Ostrovskii IV., Hayfavi A. Analytic and asymptotic properties of Linnik's probability densities. II // J. Math. Analysis Appl. 1995. 193. P. 497–521.

65. Королев В.Ю., Горшенин А.К., Зейфман А.И. Новые представления обобщенного распределения Миттаг-Леффлера в виде смесей и их приложения // Информатика и ее применения. 2018. 12. B. 4. C. 75-85.

66. Королев В.Ю. Предельные распределения для дважды стохастически прореженных процессов восстановления и их свойства // Теория вероятн. примен. 2016. 61. Вып. 4. С. 753-773.

67. Khokhlov Y., Korolev V., Zeifman A. Multivariate scale-mixed stable distributions and related limit theorems // Mathematics. 2020. 8. P. 749-777.

68. Багиров Э.Б. Некоторые замечания о смесях нормальных законов // Теория вероятн. примен. 1988. 33. B. 4. C. 762-764.

69. Багиров Э.Б. Метод смесей и его применение к выводу нижних оценок для распределений функций от нормальных случайных величин: Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М., 1988.

70. Кудрявцев А.А., Недоливко Ю.Н., Шестаков О.В. Оновные вероятностные характеристики дигамма-распределения и метод оценивания его параметров // Вести. Моск. ун-та. Сер 15. Вычисл. матем. и киберн. 2022. 2. С. 22-29.

71. Кудрявцев А.А. О представлении гамма-экспоненциального и обобщенного отрицательного биномиального распределений // Информатика и ее применения. 2019. 13. Вып. 4. С. 78-82.

72. Кудрявцев А.А. Байесовские модели баланса // Информатика и ее применения. 2018. 12. Вып. 3. С. 18-27.

73. Воронцов М.О., Кудрявцев А.А., Шестаков О.В. Некоторые вероятностно- статистические свойства гамма-экспоненциального распределения // Системы и средства информатики. 2021. 31. Вып. 3. С. 18-35.

74. Кудрявцев А.А., Шестаков О.В. Дигамма-распределение как предельное для интегрального индекса баланса // Вести. Моск. ун-та. Сер 15. Вычисл. матем. и киберн. 2022. No 3. С. 26-32.

75. Kudryavtsev A.A., Shestakov O.V. Asymptotically normal estimators for the parameters of the gamma-exponential distribution // Mathematics. 2021. 9. N 3. Art. 273.

76. Kudryavtsev A.A., Shestakov O.V. The estimators of the bent, shape and scale parameters of the gamma-exponential distribution and their asymptotic normality // Mathematics. 2022. 10. N 4. Art. 619.

77. Robbins H. The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. 54. N 12. Р. 1151-1161.

78. Добрушин Р.Л. Лемма о пределе сложной случайной функции // Успехи математических наук. 1955. 10. Вып. 2. С. 157-159.

79. Гнеденко Б.В., Фахим Х. Об одной теореме переноса // ДАН СССР. 1969. 187. Вып. 1. С. 15-17.

80. Печинкин А.В. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных слагаемых // Теория вероятн. примен. 1973. 18. Вып. 2. С. 380-382.

81. Саас Д.О. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин // Теория вероятн. примен. 1972. 17. Вып. 3. С. 424-439.

82. Szász D. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables // Ann. Math. Stat. 1972. 43. N 6. Р. 1902-1913.

83. Szász D. Stability and law of large numbers for sums of a random number of random variables // Acta Sci. Math. 1972. 33. N 3-4. Р. 269-274.

84. Круглов В.М. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин // Теория вероятн. примен. 1998, 43. Вып. 2. С. 248-271.

85. Korolev V. Yu. A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes // 3. Math. Sci. 1996. 81. N 5. Р. 2951-2956.

86. Korolev V. Yu., Kruglov V. M. A criterion of convergence of nonrandomly centered random sums of independent identically distributed random variables // J. Math. Sci. 1998. 89. N 5. P. 1495-1506.

87. Королев В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. 1// Теория вероятн. примен. 1994. 39. Вып. 2. С. 313-333.

88. Кащеев Д. Е. Моделирование динамики финансовых временных рядов и оценивание производных ценных бумаг: Дис. канд. физ.-мат. наук. Тверь. Тверской гос. ун-т, 2001.

89. Korolev V.Yu., Chertok A.V, Korchagin A. Yu, Kossova E.V., Zelfman A.I. A note on functional limit theorems for compound Cox processes // J. Math. Sci. 2016. 218. N 2. Р. 182-194.

90. Korolev V.Yu., Chertok A.V, Korchagin A.Yu., Kossova E.V., Zeifman A.1. Some functional limit theorems for compound Cox processes // AIP Conference Proceedings. 2016. 1738. Art. 220005.

91. Korolev V.Yu., Chertok A. V., Korchagin A.Yu., Zelfman A.1. Modeling high-frequency order flow imbalance by functional limit theorems for two-sided risk processes // Applied Mathematics and Computation. 2015. 253. Р. 224-241.

92. Ulyanov V.V. From classical to modern nonlinear central limit theorems // Mathematics, 2024. 12. N 14. Art. 2276.

93. Grandell 3. Doubly stochastic Poison processes // Lecture Notes Math. Vol. 529. Berlin; N. Y: Springer, 1976.

94. Grandell 3. Mixed Poisson Processes. London: Chapman and Hall, 1997.

95. Королев В.Ю. О сходимости распределений обобщенных процессов Кокса к устойчивым законам // Теория вероятн. примен. 1998, 43. Вып. 4. С. 786-792.

96. Korolev V.Yu., Zeifman A.1. Generalized negative binomial distributions as mixed geometric laws and related limit theorems // Lithuanian Math. 3. 2019. 59. Р. 366-388.

97. Kalashnikov V. V. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.

98. Korolev V., Gorshenin A. Probability models and statistical tests for extreme precipitation based on generalized negative binomial distributions // Mathematics, 2020. 8. N 4. Art. 604.

99. Клебанов Л.Б., Мания Г.М., Меламед И.А. Одна задача В. М. Золотарева и аналоги безгранично делимых и устойчивых распределений в схеме суммирования случайного числа случайных величин // Теория вероятн. примен. 1984. 29. Вып. 4. С. 791-794.

100. Rényl A. A Polsson-folyamat egy jellemzese // Magyar Tud. Acad. Mat. Kutato Int. Köl. 1956. 1. P. 519-527.

101. Гавриленко С.В., Королев В.Ю. Оценки скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм // Системы и средства информатики. Спец. вып. 2006. С. 248-257.

102. Korolev V.Yu., Zelfman A.1. Bounds for convergence rate in laws of large numbers for mixed Poisson random sums // Statistics and Probability Letters. 2021. 168. Art. 108918.

103. Shevtsova I, Tselishchev M. A generalized equilibrium transform with application to error bounds in the Rényi theorem with no support constraints // Mathematics. 2020. 8. Art. 577.

104. Shevtsova I., Tselishchev M. On the accuracy of the exponential approximation to random sums of alternating random variables // Mathematics. 2020. 8. N 11. Art. 1917.

105. Shevtsova I., Tselishchev M. On the accuracy of the generalized gamma approximation to generalized negative binomial random sums// Mathematics, 2021.9. Art. 1571.

106. Korolev V. Bonds for the rate of convergence in the generalized Rényi Theorem // Mathematics. 2022. 10. 22. Art. 4252.

107. Bulinski A., Slepov N. Sharp estimates for proximity of geometric and related sums distributions to limit laws // Mathematics. 2022. 10. N 24. Art. 4747.

108. Королев В.Ю., Арефьева Е.В., Нефедова Ю.С., Горшенин А.К., Лазовский Р.А. Метод оценивания вероятностей катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий и его применение к прогнозированию землетрясений в Арктике // Проблемы анализа риска. 2016. 13. Вып. 4. С. 80-91.

109. Королев В.Ю., Соколов И.А. Некоторые вопросы анализа катастрофических рисков, связанных с неоднородными потоками экстремальных событий // Системы и средства информатики. 2005. Спец. вып. С. 108-124.

110. Королев В.Ю., Соколов И.А., Гордеев А.С., Григорьева М.Е., Попов С.В., Чебоненко Н. А. Некоторые методы анализа временных характеристики катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий // Системы и средства информатики. 2005. Спец. вып. С. 5-23.

111. Королев В.Ю., Соколов И.А. Математические модели неоднородных потоков экстремальных событий. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2008.

112. Korolev V.Yu., Sokolov I.A., Gorshenin А.К. Max-compound Cox processes, 1// 3. Math. Sci. 2019. 237. Р. 789-803.

113. Korolev V. Yu., Sokolov I.A., Gorshenin A.K. Max-compound Cox processes. II // J. Math. Sci. 2020. 246. Р. 488-502.

114. Korolev V. Yu., Sokolov I.A., Gorshenin A.K. Max-compound Cox processes. III // J. Math. Sci. 2022. 267. Р. 273-288.

115. Королев В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. 11 // Теория вероятн. примен. 1995. 40. Вып. 4. С. 907-910.

116. Korolev V. Yu., Zelfman A.1. From asymptotic normality to heavy-tailedness via limit theorems for random sums and statistics with random sample sizes // Probability, Combinatorics and Control. Eds. by Kostogryzov A.I., Korolev V.Yu. IntechOpen, 2020. Р. 1-23.

117. Шестаков О.В. Асимптотическая нормальность оценки риска пороговой обработки вейвлет- коэффициентов при выборе адаптивного порога // Докл. АН. 2012. 445. Вып. 5. С. 513-515.

118. Кудрявцев А. А., Шестаков О.В. Использование обобщенной кросс-валидации при обращении линейного однородного оператора с помощью вейглет-вейвлет разложения // T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. 2013. Вып. 1. С. 23-28.

119. Shestakov O.V. On the strong consistency of the adaptive risk estimator for wavelet thresholding // 3. Math. Sci. 2016. 214. N 1. Р. 115-118.

120. Кудрявцев А.А., Шестаков О.В. Минимизация ошибок вычисления нейвлет-коэффициентов при решении обратных задач // Информатика и ее применения. 2018. 12. Вып. 2. С. 17-23.

121. Шестаков О.В. Стабилизированная жесткая пороговая обработка коэффициентов вейвлет-вейглет-разложения при реконструкции томографических изображений по проекциям с коррелированным шумом // Вести. Моск. ун-та. Сер 15. Вычисл. матем. и киберн. 2019. No 3. С. 52-56.

122. Palionnaya S.I., Shestakov O. V. Asymptotic properties of mse estimate for the false discovery rate controlling procedures in multiple hypothesis testing // Mathematics, 2020. 8. N 11. Art. 1913.

123. Шестаков О.В., Степанов Е.П. Нелинейная регуляризация обращения линейных однородных операторов с помощью метода блочной пороговой обработки // Информатика и ее применения. 2023. 17. Вып. 4. С. 2-8.

124. Ляпунов А.М. Об одной теореме теории вероятностей // Известия Академии Наук. V серия. 1900. 13. Вып. 4. С.359-386.

125. Ляпунов А.М. Новая форма теоремы о пределе вероятности // Записки Академии Наук по физико-математическому отделению. VIII серия. 1901. 12. Вып. 5. С. 1-24.

126. Сrаmеr H. Das Gesetz von Gauss und die Theorie des Risikos // Skand. Aktuarietidskr. 1923. 6. Р. 209-237.

127. Сrаmеr H. On the composition of elementary errors // Skand. Aktuarietidskr. 1928. 11. Р. 141-180.

128. Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: ИЛ, 1947.

129. Веrrу А.C. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates // Trans. Amer. Math. Soc. 1941. 49. Р. 122-136.

130. Esseen C-G. On the Liapounoff limit of error in the theory of probability // Ark. Mat. Astron. Fys. 1942. А28. No 9. Р. 1-19.

131. Korolev V., Shevtsova I. An improvement of the Berry-Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums // Scand. Actuar. 3. 2012. N 2. Р. 81-105.

132. Шевцова И.Г. Оценки скорости сходимости в глобальной ЦПТ для обобщенных смешанных пуассоновских распределений // Теория вероятн. примен, 2018. 63. Вып. 1. С. 89-116.

133. Esseen C.G. A moment inequality with an application to the central limit theorem // Skand. Aktuarietidskr. 1956. 39. Р. 160-170.

134. Шевцова И.Г. Об абсолютных константах в неравенствах типа Берри-Эссеена // Докл. АН. 2014. 456. Вып. 6. С. 650-654.

135. Esseen C.-G. Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace Gaussian law // Acta Math. 1945. 77. N 1. Р. 1-125.

136. Шевцова И.Г. Точность нормальной аппроксимации: методы оценивания и новые результаты. М.: Аргамак-Медиа, 2016.

137. Осипов Л.В., Петров В.В. Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 1967. 12. Вып. 2. С. 322-329.

138. Шевцова И.Г. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссена-Каца // Теория вероятн. примен. 2010. 55. Вып. 2. С. 271-304.

139. Шевцова И. Г. Нижняя асимптотически правильная постоянная в центральной предельной теореме // Докл. АН. 2010. 430. Вып. 4. С. 466-469.

140. Колмогоров А.Н. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей // Вестник Моск. ун-та, сер. физ.-матем. и естеств. наук. 1953. 10. Вып. 7. С. 29-38.

141. Чистяков Г.П. Асимптотически наилучшие постоянные в теореме Липунова // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1996. 228. С. 349-355.

142. Чистяков Г. П. Новое асимптотическое разложение и асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова. 1, 11, 11 // Теория вероятн. примен. 2001. 46. Вып. 2. С.326-344; 2001. 46. Вып. 3. С.573-579; 2002. 47. Вып. 3. С. 475-497.

143. Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации для сумм независимых случайных величин // Докл. АН. 2012. 443. Вып. 5. С. 555-560.

144. Шевцова И.Г. О точности нормальной аппроксимации для обобщенных пуассоновских распре делений // Теория вероятн. примен. 2013. 58. Вып. 1. С. 152-178.

145. Shevtsova I. Moment-type estimates with asymptotically optimal structure for the accuracy of the normal approximation // Annales Mathematicae et Informaticae, 2012. 39. Р. 241-307.

146. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

147. Prawitz H. Remainder term estimation for convolution of identical components. Unpublished manuscript of the lecture given on 16 June, 1972, at the Summer School of the Swedish Statistical Society, Löttorp, Sweden, 12-21 June 1972.

148. Prawitz H. On the remainder in the central limit theorem. I: One-dimensional independent variables with finite absolute moments of third order // Scandinavian Actuarial Journal. 1975. N 3. Р. 145-156.

149. Bentkus V. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality // 3. Theoretical Probab. 1994. 7. N 2. Р. 211-224.

150. Королев В.Ю., Шевцова И.Г. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенстве Берри Эссеена // Теория вероятн. примен. 2009. 54. Вып. 4. С. 671-695.

151. Королев В.Ю., Шевцова И.Г. Уточнение неравенства Берри-Эссеена // Докл. АН. 2010. 430. Вып. 6. С. 738-742.

152. Шевцова И.Г. Уточнение оценок скорости сходимости в теореме Ляпунова // Докл. АН. 2010. 435. Вып. 1. С. 26-28.

153. Katz М.L. Note on the Berry-Esseen theorem // Ann. Math. Statist, 1963. 34. P. 1107-1108.

154. Петров В.В. Одна оценка отклонения распределения суммы независимых случайных величин от нормального закона // ДАН СССР. 1965. 160. Вып. 5. С. 1013-1015.

155. Осипов Л.В. Уточнение теоремы Линдеберга // Теория вероятн. примен. 1966. 11. Вып. 2. С. 339-342.

156. Feller W. On the Berry-Esseen theorem // Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1968. 10. P. 261-268.

157. Esseen C. G. On the remainder term in the central limit theorem // Arkiv för Matematik. 1969. 8. N 1. Р. 7-15.

158. Розовский Л.В. О скорости сходимости в теореме Линдеберга-Феллера // Вестн. Ленинградского ун-та, 1974. Вып. 1. С. 70-75.

159. Wang N., Ahmad I.A. A Berry-Esseen inequality without higher order moments // Sankhya A: Indian 3. Stat. 2016. 78. N 2. Р. 180-187.

160. Gabdullin R., Makarenko V., Shevtsova I. Esseen-Rozovskii type estimates for the rate of convergence in the Lindeberg theorem // 3. Math. Sci. 2018, 234. N 6. Р. 847-885.

161. Gabdullin R., Makarenko V., Shevtsova I. A generalization of the Wang-Ahmad inequality // 3. Math. Sd. 2019. 237. N 5. Р. 646-651.

162. Gabdullin R., Makarenko V., Shevtsova I. A generalization of the Rozovskii inequality // 3. Math. Sci. 2019. 237. N 6. Р. 775-781.

163. Gabdullin R., Makarenko V., Shevtsova 1. Asymptotically exact constants in natural convergence rate estimates in the Lindeberg theorem // Mathematics, 2021. 9. N 5. Ап. 501.

164. Gabdullin R., Makarenko V., Shevtsova I. On natural convergence rate estimates in the Lindeberg theorem // The Indian J. of Statistics. Sankhya A. 2022. 84. Р. 671-688.

165. Korolev V., Dorofeyeva A. Bounds of the accuracy of the normal approximation to the distributions of random sums under relaxed moment conditions // Lithuanian Math. 3. 2017. 57. N 1. Р. 38-58.

166. Cramér Н. Sur un nouveau théorem-limite de la théorie des probabilités // Actualités Sci. Indust. 1938. 736. P. 5-23.

167. Мешалкин Л.Д., Рогозин Б.А. Оценка расстояния между функциями распределения по близости их характеристических функций и ее применение к центральной предельной теореме // Предельные теоремы теории вероятностей. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963. С. 49-55.

168. Нагаев С.В. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений // Теория вероятн. примен. 1965. 10. Вып. 2. С. 231-254.

169. Бикялис А. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме // Литовский матем. сборник. 1966. 6. Вып. 3. С. 323-346.

170. Shevtsova I.G. On the absolute constants in Nagaev-Bikelis-type inequalities. Chapter 3 // Pinelis I., de la Peña V. H., Ibragimov R., Osękowski A., Shevtsova I. Inequalities and Extremal Problems in Probability and Statistics. London: Academic Press, 2017. P. 47-102.

171. Петров В.В. Одна предельная теорема для сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1979. 85. С. 188-192.

172. Королев В.Ю., Попов С.В. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при ослабленных моментных условиях // Докл. АН. 2012. 445. Вып. 3. С. 265-270.

173. Tyurin I.S. Some optimal bounds in CLT using zero biasing//Statistics and Probability Letters. 2012. 82. N 3. Р. 514-518.

174. Маттнер Л., Шевцова И.Г. Оптимальное неравенство типа Берри-Эссеена для интегралов от гладких функций // Докл. АН. 2017. 474. Вып. 5. С. 535-539.

175. Mattner L., Shevtsova I.G. An optimal Berry-Esseen type theorem for integrals of smooth functions // Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 2019. 16. Р. 487-530.

176. Шевцова И.Г. Об абсолютных константах в неравенстве Берри-Эссена и его структурных и неравномерных уточнениях // Информатика и ее применения. 2013. 7. Вып. 1. С. 124-125.

177. Ротарь Г.В. Некоторые задачи планирования резерва: Дис... канд. физ.-мат. наук. М., 1972.

178. Ротарь Г.В. Об одной задаче управления резервами // Эконом. матем. методы. 1976. 12. Вып. 4. С. 733-739.

179. Шоргин С.Я. О точности нормальной аппроксимации распределений случайных сумм с безгранично делимыми индексами // Теория вероятн. примен. 1996. 41. Вып. 4. С. 920-926.

180. Makarenko V. A., Shevtsova I.G. Delicate comparison of the central and non-central Lyapunov ratios with applications to the Berry-Esseen inequality for compound Poisson distributions // Mathematics. 2023. 11. N 3. Ап. 625.

181. Королев В.Ю., Дорофеева А.В. О неравномерных оценках точности нормальной аппроксимации для распределений некоторых случайных сумм при ослабленных моментных условиях // Информатика и ее применения. 2018. 12. Вып. 4. С. 86-91.

182. Дорофеева А. В. Неравенства типа Каца-Петрова для некоторых случайных сумм // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. 2018. 28. С. 66-75.

183. Дорофеева А.В. О неравенствах типа Каца-Петрова-Розовского для некоторых случайных сумм // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. 2019. 29. С. 11-18.

184. Королев В.Ю., Дорофеева А.В. О точности нормальной аппроксимации при отсутствии нормальной сходимости // Информатика и ее применения. 2021. 15. Вып. 1. С. 116-121.

185. Dorofeeva A., Korolev V., Zelfman A. Bounds for the accuracy of invalid normal approximation // Colloquium Mathematicum. 2022. 169. Р. 243-253.

186. Бенинг В.Е., Галиева Н.К., Королев В.Ю. Асимптотические разложения для функций распределения статистик, построенных по выборкам случайного объема // Информатика и ее применения. 2013. 7. Вып. 2. С. 75-83.

187. Марков А.С., Монахов М.М., Ульянов В.В. Разложения типа Корниша-Фишера для распределений статистик, построенных по выборкам случайного размера // Информатика и ее применения. 2016. 10. Вып. 2. С. 84-91.

188. Christoph G., Monakhov M.M., Ulyanov V. V. Second-order Chebyshev-Edgeworth and Cornish-Fisher expansions for distributions of statistics constructed from samples with random sizes // J. Math. Sci. 2020. 244. N 5. Р. 811-839.

189. Ульянов В.В., Кристоф Г., Монахов М.М. Асимптотические разложения распределений статистик на выборках случайного размера // Теория вероятн. примен, 2020. 65. Вып. 1. С. 203-204.

190. Christoph G., Ulyanov V. V. Chebyshev-Edgeworth-type approximations for statistics based on samples with random sizes // Mathematics, 2021. 9. N 7. Art. 775.

191. Bening V.E. Asymptotic deficiency and samples with random sizes // International J. of Scientific and Innovative Mathematical Research (USIMR), 2018. 6. N 8. Р. 26-41.

192. Bening V. E. Random size samples, asymptotic expansions and the deficiency concept in statistics // Transnational J. Math. Analysis Appl. 2020. 8. N 1. P. 1-15.

193. Bening V.E., Korolev V.Yu. Comparing distributions of sums of random variables by deficiency: discrete case // Mathematics, 2022. 10. N 3. Art. 454.

194. Bening V.E., Korolev V. Yu. Comparing compound Poisson distributions by deficiency: continuous- time case // Mathematics, 2022. 10. N 24. Art. 4712.

195. Christoph G., Ulyanov V.V., Bening V.E. Second order expansions for sample median with random sample size // Latin American J. Probab. Math. Stat. 2022. 19. N 1. Р. 339-365.

196. Dempster A., Laird N., Rubin D. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm // Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1977. 39. N 1. Р. 1-38.

197. MeLachlan G.J., Krishnan T. The EM Algorithm and Extensions. N.Y: Wiley, 1997.

198. Belyaev K., Kuleshov A., Tuchkova N., Tanajura C.A.S. An optimal data assimilation method and its application to the numerical simulation of the ocean dynamics // Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems. 2017. P. 1-14.

199. Leland H. E. Option pricing and replication with transactions costs // J. Finance. 1985. 40. P. 1283-1301.

200. Barles G., Soner H. M. Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black-Scholes equation // Finance and Stochastics. 1998. 2. P. 369-397.

201. Heston S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility, with application to bond and currency options // Review of Financial Studies. 1993. 6. P. 327–343.

202. Cox J.C., Ingersoll J. E., Ross S.A. A theory of the term structure of interest rates // Econometrica. 1985. 53. P. 385-407.

203. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // J. Finance. 1987. 42. P. 281-308.

204. Derman E., Kani J. Riding on a smile // Risk. 1994. 7. P. 32-39.

205. Dupire B. Pricing with a smile // Risk. 1994. 7. P. 18-20.

206. Shiryaev A. N. Foundations of Financial Mathematics. Vol. 1. Facts, Models. Singapore: World Scientific, 1998;

207. Yoshida N. Estimation for diffusion processes from discrete observation // J. Multivar. Analysis. 1992. 41. P. 220-242.

208. Florens-Zmirou D. On estimating the diffusion coefficient from discrete observations // J. Appl. Probab. 1993. 30. N 4. P. 790-804.

209. Genon-Catalot V., Jaco d J. On the estimation of the diffusion coefficient for multi-dimensional diffusion processes // Annales de l'Institute Henri Poincaré. Ser. B. 1993. 29. N 1. P. 119-151.

210. Genon-Catalot V., Jacod J. Estimation of the diffusion coefficient for diffusion processes: random sampling // Scand. J. Statist. 1994. 21. N 3. P. 193-221.

211. Lamouroux D., Lehnertz K. Kernel-based regression of drift and diffusion coefficients of stochastic processes Physics Letters A. 2009, 373. P. 3507-3512.

212. Wei C., Shu H. Maximum likelihood estimation for the drift parameter in diffusion processes // Stochastics. 2016. 88. N 5. P. 699–710.

213. Горшенин А.К., Королев В.Ю., Щербинина А. А. Статистическое оценивание распре делений случайных коэффициентов стохастического дифференциального уравнения Ланжевена // Информатика и ее применения. 2020. 14. Вып.3. С. 3-12.

214. Belyaev K.P., Gorshenin A.K., Korolev V.Yu., Osipova A. A. Comparison of statistical approaches for reconstructing random coefficients in the problem of stochastic modeling of air-sea heat flux increments // Mathematics, 2024. 12. N 2. Art. 288.

215. Korolev V. Y., Lanxiao X. Reconstructing Unknown Coefficients of Stochastic Differential Equations and Intelligently Predicting Random Processes with Directed Learning // Moscow Univ. Comput. Math. Cybern. 2024. 48. P. 104-109.

216. Karpov K., Korolev V., Sukhareva N. Statistical separation of mixtures in the problem of reconstruction of the coefficients of an Ito stochastic process-type model of interplanetary magnetic flux density: ℓ2-distance minimization vs likelihood maximization // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 2025. N 1. To appear.

217. Redner R. A., Walker H. F. Mixture densities, maximum likelihood and the EM algorithm // SIAM Review. 1984. 26. N 2. P. 195-239.

218. Wu C.F. J. On the Convergence Properties of the EM Algorithm // Ann. Stat. 1983. 11. N 1. P. 95–103.

219. Bishop C. M. Mixture Models and EM. Chapter 9 // Pattern Recognition and Machine Learning, N.Y.: Springer, 2006. P. 423–459.

220. Everitt B. S., Hand D. J. Finite Mixture Distributions. London; N. Y.: Chapman and Hall. 1981.

221. Teicher H. Identifiability of mixtures // Ann. Math. Stat. 1961. 32. P. 244-248.

222. Королев В.Ю., Черток А.В., Корчагин А.Ю., Горшенин А.К. Некоторые свойства дисперсионно-сдвиговых смесей нормальных законов // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. 2015. 26. С. 134-153.

223. Kolouri S., Rohde G.K., Hoffmann H. Sliced Wasserstein Distance for Learning Gaussian Mixture Models // 2018 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Salt Lake City, 2018. P. 3427-3436.

224. Zhang Q, Chen 3. Minimum Wasserstein distance estimator under finite location-scale mixtures // Advances and Innovations in Statistics and Data Science / Ed by Wenqing He, Liqun Wang, Jiahua Chen, Chunfang Devon Lin. Cham: Springer International Publishing, 2022. P. 69-98.

225. Ormoneit D., Tresp V. Averaging, maximum penalized likelihood and Bayesian estimation for improving Gaussian mixture probability density estimates // IEEE Transactions on Neural Networks, 1998. 9. N 4. Р. 639-50.

226. Ciuperca G., Ridolfi A., Idier J. Penalized maximum likelihood estimator for normal mixtures // Scand. 3. Statist, 2003. 30. N 1. Р. 45-59.

227. Fraley C., Raftery A.E. Bayesian regularization for normal mixture estimation and model-based clustering // 3. Classification. 2007. 24. Р. 155-181.

228. Chen J., Tan X., Zhang R. Inference for normal mixtures in mean and variance // Statistica Sinica. 2008. 18. No 2. Р. 443-465.

229. Иванов М.А., Рощина Я.А., Королев В. Ю. Переобучение в конечных смесях нормальных распределений // Многомерный статистический анализ, эконометрика и моделирование реальных процессов. Тезисы докладов XI международной конференции. Ч. 1: Пленарные доклады. Секция 1. Многомерный статистический анализ и эконометрика. Под ред. В. Л. Макарова. М.: ЦЭМИ РАН, 2024. C. 65-69.