ISSN: 0137-0782
Поступила: 14.10.2025
Принята к публикации: 26.10.2025
Ключевые слова: модель Ланчестера, пространственно распределенная модель, реакционно-диффузионные уравнения, направленные удары, начальное смещение, гауссовский шум, топографическое препятствие, численное моделирование, метод конечных элементов, триангуляция, анализ устойчивости, анализ чувствительности, оценка погрешности
DOI: 10.55959/MSU/0137–0782–15–2026–50–1–14–25
Борисов Н.Д., Нефедов В.В. Модификация модели Ланчестера с учетом направленных ударов и шумов // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2026. № 1. С. 14-25 https://doi.org/10.55959/MSU/0137–0782–15–2026–50–1–14–25.
В работе рассматривается модификация пространственно распределенной модели Ланчестера, описывающая антагонистическую игру двух групп в двумерной области, которая впервые возникла в 1916 г. для описания модели боевых действий двух групп войск, характеризующей события времен Первой мировой войны. Модель учитывает направленные удары, задаваемые вектором скорости, и начальное смещение концентраций войск с помощью ступенчатой функции. В систему включены диффузионные члены, нелинейные реакции, гауссовский белый шум и топографическое препятствие (озеро произвольной формы), ограничивающее перемещение войск. Численное решение реализовано с использованием метода конечных элементов на основе триангуляции области для учета нерегулярных доменов. Результаты моделирования демонстрируют усиление пространственной неоднородности под влиянием шума и препятствия, а также существенное воздействие направленного движения и начального смещения на динамику конфликта. Анализ устойчивости подтверждает стабильность системы, включая анализ для метода конечных элементов. Добавлен анализ чувствительности к параметрам и оценка погрешности вычислений. Визуализация иллюстрирует эволюцию плотностей войск во времени. Преимущества предложенного подхода по сравнению с существующими методами включают лучшую обработку нерегулярных доменов и масштабируемость модели.
L a n c h e s t e r F. W. Aircraft in Warfare: The Dawn of the Fourth Arm. London: Constable and Company, 1916.
Шу м о в В. В. Моделирование специальных действий и борьбы с терроризмом // ЖВМ и МФ. 2024. 16(6). С. 1467–1498.
B o r i s o v N. D., N e f e d o v V. V. Spatial distributed Lanchester model considering nonlinear dynamics // International Journal of Open Information Technologies. 2025. 13. N 9. P. 82–90.
B o r i s o v N. D. Development of Lanchester-type spatial models with obtaining localized solutions for the interaction of two groups // J. Appl. Math. and Phys. 2025. 13. P. 2332–2342.
К о р е п а н о в В. О., Шу м о в В. В. Моделирование военных, боевых и специальных действий. Теоретико-игровые модели боевых действий на тактическом и оперативно-тактическом уровнях // Управление развитием крупномасштабных систем. 2021. P. 1839–1843.
Ta y l o r J. G., B r o w n G. G. Annihilation prediction for Lanchester-type models of modern warfare // Operations Research. 1983. 31. N 4. P. 752–771.
G o n z a l e z J., V i l l e n a A. Spatial Lanchester models // European Journal of Operational Research. 2011. 210(3). P. 706–715.
F a n g L. Smooth digital terrain modeling in irregular domains using finite elements // AIMS Mathematics. 2024. 9(11). P. 30015–30042.
K r e s s M. Modeling armed conflicts // Military Operations Research. 2012. 17(1). P. 59–73.
L a n d a u L. D., L i f s h i t z E. M. Fluid Mechanics. 2nd ed. Pergamon Press, 1987.
C h a o H., Ta n g W., H i m a l a y a W. Applying three phase Lanchester linear model to the Ardennes campaign // International Journal of Discrete Mathematics. 2017. 2(2). P. 48–53.
C a n g i o t t i N., C a p o l l i M., S e n s i M. A generalization of unaimed fire Lanchester’s model in multi-battle warfare // Operational Research. 2023. 23(38). P. 1645–1666.
R e a r d o n C. The Gettysburg Campaign. In The Cambridge History of the American Civil War. Cambridge: Cambridge University Press, 2019.
E m e l y a n o v A., K n y a z V., K n i a z V., A r t i s t D. Pixels relationship analysis for extracting building footprints // Int. Arch. Photogramm. Remote Sens. Spatial Inf. Sci. 2024. XLVIII. N 3. P. 141–146.
B a c h i n i E., F a r t h i n g M. W., P u t t i M. Intrinsic finite element method for advection-diffusion-reaction equations // J. Comput. Phys. 2021. 424. P. 11–26.
E g g e r H., F e l l n e r K., P i e t s c h m a n n J.-F., Ta n g B. A finite element method for volume-surface reaction-diffusion // arXiv: 1511.00846v1[math.NA]. 2015.
Х а д е л е р К. П. Перенос, реакция и запаздывание в математической биологии и обратная задача для бегущих фронтов // СМФН. 2006. 17. P. 57–77.
К о р е п а н о в В. О., Ч х а р т и ш в и л и А. Г., Шу м о в В. В. Базовые модели боевых действий // УБС. 2023. 103. P. 40–77.
M c C a r t n e y M. Battling with Lanchester’s equations in the classroom // Intern. J. Math. Educ. In Sci. and Technol. 2023. 54(3), P. 451–461.
P o g g i e J., M a t e i S. A., K i r c h u b e l R. Simulating military conflict with a continuous flow model // J. the Operational Research Soc. 2022. 73(2). P. 273–284.
C h e n X., Z h a n g A. Modeling and optimal control of a class of warfare hybrid dynamic systems based on Lanchester (n, 1) attrition model // Mathematical Problems in Engineering. 2014. 1. P. 12–19.
